La giornata dedicata a Pi Greco

La matematica è nel comune sentire l’emblema stesso della complessità, eppure essa è codice e linguaggio di tutte le scienze e non solo. Viene vissuta a scuola come la più astratta delle discipline, eppure nasce per risolvere essenzialmente problemi di ordine pratico.

Così nel giorno dedicato a Pi-Greco abbiamo pensato di organizzare dei laboratori di matematica, che determinassero delle approssimazioni del famoso irrazionale in modo euristico, mediante attività pratiche e coinvolgenti. L’intento era provare a fare matematica dal basso, sviluppando procedure esperenziali che conducessero alla scoperta di un numero così astratto in contesti inusuali.
Abbiamo selezionato quattro esperimenti molto diversi tra loro:

• Semicerchio di gemme: costruire con gemme colorate un grande semicerchio, circa tre metri di diametro; misurare la lunghezza della semicirconferenza e del diametro contando il numero di gemme ed infine eseguirne il rapporto per giungere alle valutazione approssimata di Pi Greco. Vedi la descrizione dell'esperimento e il risultato.

• La lunghezza del fiume Po: misurare la lunghezza di una porzione del fiume Po su una cartina stampata da google-maps, misurare la distanza coperta dal fiume nel suo percorso e verificare che il rapporto fra le due grandezze approssimasse Pi Greco. Vedi la descrizione dell'esperimento e il risultato.

• L’ago di Buffon: lanciare numerose volte su una superficie rigata dei bastoncini aventi dimensioni poco inferiori alla distanza fra le righe; mettere in relazione il numero di lanci in cui i bastoncini non intersecano le righe con il numero totale di lanci e… verificare l’approssimazione ottenuta di Pi Greco. Vedi la descrizione dell'esperimento e il risultato.

• L'approssimazione di Pi Greco attraverso il calcolo della probabilità che, scelto un punto a caso interno a un quadrato, questo cada entro il cerchio inscritto. Vedi la descrizione dell'esperimento e il risultato.

Abbiamo invitato ai laboratori gli alunni delle nostre quattro classi quarte, dividendoli in cinque gruppi, tre per svolgere gli esperimenti, uno per foto e riprese e uno per la costruzione del blog; la partecipazione è stata più che soddisfacente, circa 100 ragazzi coinvolti ed entusiasti.
Un pomeriggio dedicato alla matematica divertendosi un po’, ci piace pensare, terminato con un coro spontaneo dei ragazzi, che cantavano “tanti auguri a π ”, circondando la torta a lui dedicata.

Approssimazione mediante la lunghezza del fiume Po

Il laboratorio sulla lunghezza del fiume Po

Una volta unite le varie sezioni della maxi-cartina del Po, usando del filo fissato alla sorgente e poi fissato ogni tanto per comodità, abbiamo seguito il corso del fiume e poi abbiamo misurato la lunghezza del filo usato, ricavando una lunghezza di 837 centimetri.
Semplicemente tendendo dell'altro filo, invece, dalla sorgente alla foce, e misurando anche questa volta la distanza ottenuta, otteniamo che è uguale questa volta a 551,2 centimetri.
Dividiamo questi due numeri:

Evidentemente non è uguale a π, mentre notiamo che se dividiamo π per 2:

ovvero il nostro risultato è una buona approssimazione di π/2.

L'approssimazione di Pi Greco che viene fuori da questo laboratorio si ottiene moltiplicando la frazione

per due:

Vedi la descrizione del laboratorio.

Il gruppo che ha lavorato
a questo laboratorio

Sul tavolo la mappa del fiume
ancora a pezzi separati

Approssimazione con le gemme

Il laboratorio con le gemme

Dopo aver costruito la semicirconferenza usando 18000 gemme, abbiamo contato quelle che si trovavano sul diametro e, aiutandoci con uno spago, quelle che si trovavano sulla semicirconferenza: le prime erano 194, mentre quelle sul bordo esterno 313.
Moltiplicando queste ultime per due, otteniamo 626, ovvero il numero delle gemme che avrebbero formato la circonferenza:

Il rapporto tra il numero delle gemme sulla circonferenza (la lunghezza della circonferenza calcolata in gemme) e il numero delle gemme sul diametro (la lunghezza del diametro, anch'esso calcolato in gemme) ci da l'approssimazione del valore di Pi Greco:

ovvero una buona approssimazione di π.
Vedi la descrizione del laboratorio.

Piano piano si costruisce il semicerchio

Il gruppo che ha lavorato a questo laboratorio

L'ago di Buffon

Approssimazione con il metodo dell'ago di Buffon

Dopo aver preparato i fogli, abbiamo preso degli stecchini (gli aghi di Buffon) e li abbiamo lanciati 1997 volte (abbiamo creato più superfici per poter effettuare più lanci contemporaneamente), constatando che 1047 volte gli stecchini sono caduti sulle strisce.
Usando la formula

(dove l è la lunghezza dell'ago, t la distanza tra due linee tracciate sul piano e p è la probabilità che l'ago intersechi una delle linee) ricaviamo il valore

che anche se non è esattamente π è comunque una buona approssimazione, considerando che più lanci si effettuano, più il risultato si avvicina a π e pare che per ottenere un risultato il più possibile simile a questa costante servano almeno poco più di 3000 lanci.
Vedi la descrizione del laboratorio.

Il gruppo al lavoro

Si procede al lancio degli aghi

Il giardino e il laghetto

Approssimazione con il sasso nel laghetto

Il rapporto tra l'area di un cerchio e del quadrato circoscritto (ritornando al nostro esempio, tra l'area del laghetto e quella del giardino) è uguale a:

Usando il nostro software con un numero ragionevolmente alto di lanci (nel nostro caso, circa 1.000.000.000), otteniamo che la probabilità che il punto generato si trovi all'interno del cerchio è uguale a 

 Moltiplicando per 4 abbiamo l'approssimazione di Pi Greco cercata:

Ovvero, con una precisione fino alla quarta cifra decimale, del valore di Pi Greco.

Vedi la descrizione del laboratorio.